カオス＆非線形力学入門

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2010.3.4 「結合つなぎ換えにより誘起される同期とカオス」を作成しました。(New!) 2010.2.25 「マンデルブロー集合 for Android」と「フラクタルベイスン境界 for Android」をバージョンアップし、動作速度を改善しました。(New!) 2008.1.31 私が執筆した「Excel で学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門」に対応した、Mac 版と OpenOffice.org 版マクロファイルの配布を開始しました。 ローレンツカオスのフーリエ解析が Windows に加え、Mac や Linux でも行えます。

Contents

• シミュレーション
• カオスシミュレーション
• 脳のダイナミクス
• モバイルデバイスでカオス
  
  
• 発表資料
• 絵と動画で見るカオス
  
  
• その他
• カオス動画
• カオスアニメーション
• カオスギャラリー
• カオス語録

カオスシミュレーション

脳のダイナミクス

モバイルデバイスでカオス

• マンデルブロー集合 for Android
• フラクタルベイスン境界 for Android
  
  

絵と動画で見るカオス

• 「絵と動画で見るカオス」トップ このセクションはケンブリッジ大の名誉客員教授 (Honorary Fellow) である J.M.T. Thompson 教授より提供された資料に基づいています。(英語のみ)

カオス動画

• ダフィング方程式 (軌道＋アトラクター)
• ダフィング方程式 (アトラクターのみ)
• Fractal Basin Erosion
• カオス振り子動画

カオスアニメーション

• 強制振り子のアトラクター
• 強制振り子のアトラクター２
• ダフィング方程式
• ローレンツアトラクター
  
  
• Scholarpedia のレスラーアトラクターについての解説にて、
  私が作成したレスラーアトラクターのアニメーションを見ることができます。
• Scholarpediaのファン・デル・ポール振動子についての解説にて
  カオスの「音」を聞くことが出来ます。アニメーションもあります。
• Scholarpediaのダフィング振動子についての解説にて
  私が作成したダフィング振動子のカオスアトラクターのアニメーションを見ることができます。

カオスギャラリー

• ローレンツ アトラクター
• レスラー アトラクター
• エノン写像のアトラクター
• 強制振り子のアトラクター
• ロジスティック写像の分岐図
• カオスニューロンの分岐図

カオス語録

• 科学者
  • マックスウェル「物質と運動」(1877)
    しばしば引用される原則として「同じ原因はいつも同じ結果を生む」というものがある。(…)
    もう一つの原則として、「似た原因は似た結果を生む」というものがある。(…)
    非常に多くの物理現象ではこの条件が満たされるが、小さな初期状態の違いがシステムの最終状態に非常に大きな変化をもたらす場合もある。
    (James Clerk Maxwell "Matter and Mothion" より翻訳)
    
    
  • ポアンカレ「科学と仮説」(1902) (河野 伊三郎訳・岩波文庫)
    遊星の錯雑とした運動よりもっと複雑なものがあろうか。
    
    
  • ポアンカレ「科学の価値」(1905) (吉田 洋一訳・岩波文庫)
    惑星の軌道は摂動によって乱され複雑な曲線 --- これを表現する方程式を書いた人がいまだにないような複雑な曲線を描く。
    
    
  • ポアンカレ「科学と方法」(1908) (吉田 洋一訳・岩波文庫)
    最初に於ける小さな誤差が、のちに莫大な誤差となって現われるでもあろう。 かくて予言は不可能となって、ここに偶然現象が得られるのである。
    
    
  • ファン・デル・ポール "周波数分周 (Frequency demultiplication)" (1927)
    周波数が次の低い値にジャンプする前に、しばしば不規則なノイズが レシーバーより聞こえた。(…)
    影のついた部分は、不規則なノイズが聞こえたときのコンデンサの値を 示している。
    
    
  • リー、ヨーク (1975)
    3周期軌道があればカオスが存在する。
    
    
  • 森肇「散逸構造とカオス」(1994)
    カオスは小さな摂動に対して不安定で再現不能であるが、その軌道上での物理量の長時間平均は安定で再現可能である。
    
    
  • 山口昌哉「カオス入門」(1996)
    今必要なことは東洋の思想を西洋の言葉で語ることである。カオスはその言葉の一つである。シンメトリーからは２元対立の２周期振動しかでないけれど、ノンシンメトリック（これは東洋美術の特徴である）からはカオスがでる。カオスは創造の源である。これはギリシャ以前の人類の伝統である。
    
    
• 哲学者または文学者
  • 老子「老子 (第 42 章)」(紀元前 6 世紀)
    道生一、一生二、二生一、三生万物
    (道は一を生じ、一は二を生じ、二は三を生じ、三は万物を生ず)
    
    
  • ルクレティウス「物の本質について」(紀元前 100 年頃) (樋口勝彦訳・岩波文庫)
    (原子は) その進んでいる時に、全く不定な時に、又不定な位置で、進路を少しそれ、
    運動に変化を来らすと云える位なそれ方をする、ということである。
    ところで、若し原子がよく斜に進路をそれがちだということがないとしたならば、(…)
    自然は決して、何物をも生み出すことはなかったであろう。
    
    
  • ペトロニウス「サテュリコン」(紀元後 1 世紀)
    偶然といえども原因はある。 (Suam habet fortuna rationem)
    
    ※国原吉之助訳の岩波文庫版によると、
    82 (…) 運命の女神は独自の考えを持つ
    と訳されています。
    
    
  • パスカル「パンセ」 (17 世紀) (前田陽一・由木康 訳、中公文庫)
    162 (…) クレオパトラの鼻。それがもっと短かったなら、大地の全表面は変わっていただろう。
    
    
  • ライプニッツ「単子論」 (1714) (河野 与一 訳、岩波文庫)
    ところでこの細部がいずれも内にそれより以前の若しくはそれよりも細緻な偶然的要素を蔵し、その偶然的要素一つ一つの理由を示すには又同じような分析が必要になって来るから、そうやっていくら行っても一向進んだことにならない。
    
    
  • エドガー・アラン・ポオ「黄金虫」 (1843) (「黄金虫・アッシャー家の崩壊 他九編」所収、八木敏雄 訳、岩波文庫)
    もちろん、最初はわずかな狂いだったにしても、線を延長していくうちに狂いは次第に大きくなり、五十フィートもいくころには、すっかり見当ちがいのところに行ってしまっていたというわけさ。
    
    
  • ジュール・ヴェルヌ「月世界へ行く」(1869) (江口 清 訳、創元SF文庫)
    「砲弾が月と地球のあいだで実際にたどった曲線をきみに示すことはできないのだ。(…)」
    「なぜ？」
    「それはね、"三体問題"と呼ばれていて、積分学もそれを解決するほどには進んでいない問題の
    解決を求めることになるのだからね。」
    
    
  • ジュール・ヴェルヌ「動く人工島」(1895) (三輪 秀彦 訳、創元SF文庫)
    たしかに科学の驚異をもってしても、自然の美しさを再現できないのだ。
    
    
  • ニーチェ「ツァラトゥストラはこう言った」 (1883-85) (氷上 英広 訳、岩波文庫)
    わたしはあなたがたに言う。
    舞踏する星を産むことができるためには、
    ひとは自分のなかにカオスを残していなければならない。
    わたしはあなたがたにに告げる。
    あなたがたはまだカオスを自分のなかに持っていると。
    
    (注：文庫中では「カオス」ではなく「混沌」という語が使われています)
    
    
  • レイ・ブラッドベリ「サウンド・オブ・サンダー」 (1952) (「太陽の黄金の林檎」所収、小笠原 豊樹 訳、ハヤカワ文庫)
    「或る種の植物に損害を与えれば、結果は微分のようにわずかずつ積み重ねられます。
    ここでは取るに足らぬ過ちが、六千万年後には、恐るべき結果に拡大されます。」(…)
    「こんなちっぽけなことが！たかが蝶々一匹ぐらいで！」
    
    
  • アイザック・アシモフ「Z を S に」 (1959) (「停滞空間」所収、伊藤典夫他 訳、ハヤカワ文庫)
    「あなたの事例は非常におもしろいものです。名前をセバチンスキイに変えるようおすすめします」(…)
    「つまり、イニシャルを変えろとおっしゃるんですか？ZからSへ？それだけですか？(…)その変更が何にどう作用するんです？」(…)
    「わたしにはわかりませんな。なぜだかわからんが、影響を与えるかもしれん。」
    
    
  • アルフレッド・ベスター「世界のもうひとつの顔」 (1964) (大西 尹明 訳、創元SF文庫)
    「…うっかりと更新世の小さな昆虫を一匹踏み殺してしまいました」(…)
    「…その虫一匹が死んだために、すっかり様子が変わってしまった、という幻影を見ました。」
    
    
  • ジル・ドゥルーズ & フェリックス・ガタリ「アンチ・オイディプス   資本主義と分裂症」 (1972) (宇野 邦一 訳、河出文庫)
    要するに、吸引力と反発力の対立は、すべて肯定的な、強度の諸要素の開かれた系列を生み出すのである。これらの要素は、決してひとつのシステムの最終的な均衡状態を表現しているのではなく、むしろ無数の準安定的な停止状態を表現し、ひとつの主体は、次々とこれらの状態を体験し通過してゆく。(…)
    器官なき身体の上のもろもろの離接の点は、欲望機械の周囲にいくつかの収斂する円環を形成している。こうして主体は、欲望機械の傍に残滓として生産され、機械に隣接する付属物、あるいは部品として、円環のあらゆる状態を通過し、ひとつの円環から次の円環へと移ってゆく。
    
    
  • ウィリアム・ギブスン & ブルース・スターリング「ディファレンス・エンジン」 (1990) (黒丸 尚 訳、角川文庫)
    「ちゃんと激変説を学んでいれば、こういうことになるとわかっていたはずだ。相互共同作用の連鎖で --- システム全体が周期倍加で混沌に向かっているんだ」
    「それはどういう意味ですか……」(…)
    「素人言葉で言うなら、すべては二倍早く、二倍悪くなり、やがて何もかも、完全に駄目になる、ということさ」
    
    
  • マイクル・クライトン「ジュラシック・パーク」 (1991) (酒井 昭伸 訳、ハヤカワ文庫)
    カオス理論はふたつの要点を示唆している。ひとつめは、気象のような複雑なシステムには潜在的な秩序構造があるということ。ふたつめはその逆 --- 単純なシステムからも複雑な動きが生じうるということだ。
    
    
  • ジョン・ヴァーリイ「スチール・ビーチ」 (1992) (浅倉久志 訳、ハヤカワ文庫)
    ある場所に長くいると、いずれはこれまで知り合った人間ぜんぶがそこを通りかかるという。それが事実にちがいないと知ったのは、息を切らしてキャビンへの小道を登って来るウォルターを見たときだった。