リドル・ベイスン



riddledbasin.jarをダウンロードしてダブルクリックして実行してください (コマンドラインでは java -jar riddledbasin.jar)。

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以下のような2次元の写像を考えます。
xn+1 = xn2 - yn2 -xn - λ yn
yn+1 = 2xnyn -λxn + yn

この系は、複素写像
zn+1 = zn2 - (1+λi) zn*
の実数部 x と虚部 y に対応する写像でもあります。

この写像は以下の図のように、3つの (カオス) アトラクターを持ちます。


赤、緑、青で表された線分群がそれぞれアトラクターであり、 その内部でカオス的な時間発展をしています。
ちょうどロジスティック写像のような1次元のカオスダイナミクスを 想像すれば良いでしょう。

今、あるアトラクターに引き込まれる初期点の集合を、そのアトラクターの ベイスンと呼びます。
2次元相空間上で、3つのアトラウターのベイスンを調べるのがこのシミュレータです。
赤色の領域は赤い線分のアトラクターに引き込まれる領域を表しています。 色が白に近付くほど、速くアトラクターに収束することを表しています。
緑、青についても同様です。

この時、特徴的に見られるのは、各アトラクターのベイスンが 複雑に入り組んでいることです。
実際、赤いアトラクターのベイスンのどのような領域を拡大しても、 必ず緑や青のアトラクターのベイスン内の点が出現することが わかります。
このように、非常に入り組んだ構造を持ったベイスンは リドル・ベイスンと呼ばれます。

リドル・ベイスンが存在するためには、以下の条件が必要であることが知られています。 力学系のこのような複雑な性質は、 低次元の特殊な方程式でのみ現れるものというわけではなく、
高次元ダイナミクスでは自然と現れる普遍的な現象であると考えられます。

このページは、以下の論文に基づいています。

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