結合写像格子 (Coupled Map Lattice) と大域結合写像 (Globally Coupled Map)




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結合写像格子 (CML; Coupled map lattice) と大域結合写像 (GCM; Globally coupled map) は以下の式で 定義される離散時間写像です。

CML はカオス写像 xn+1=f(xn) を局所的に拡散結合したもので、 GCM は大域的に結合したものです。

ここではカオス写像としてロジスティック写像 f(x) = 1-a x2 を考えます。
a=r(r-2)/4、x=2(2z-1)/(r-2) の変換を行うと良く使われる形 g(z) = r z(1-z) に変換されることに注意しましょう。

このモデルは金子邦彦氏らにより導入されたものですが、その生まれた背景には、
複雑系と呼ばれるシステム、すなわち生態系、DNA ネットワーク、経済活動、脳のネットワーク、生物の進化などの
大自由度システムのダイナミクスを理解するための一般的な枠組みを作りたいという意図があったのだろうと思います。

復習しますと、非線形力学とカオス理論は低次元の複雑な現象を理解することには一定の成功を納めました。
ここで「低次元」とは、システムを記述する方程式の変数の数が少ないこと (例えばローレンツ方程式では 3) や、
あるいはシステムでカオスを示す次元の数 (正のリアプノフ数の個数) が少ないこと (例えばローレンツアトラクターでは 1) を意味します。
このような系では例えばロジスティック写像のような一般的で単純なモデルの解析で得られた知見が有効に活用されました。

しかし、複雑系のように大自由度な系の理解となりますと、低次元カオスの知見だけでは不足であり、
大自由度な系の特徴を捉えつつ単純で普遍性を有するような新たな枠組みが必要となります。
これまでに紹介したリドル・ベイスンオンオフ間欠性と、本ページに紹介する CML と GCM は
その枠組みの一つと言えます。

CML と GCM はカオス写像を複数結合させる、というある意味暴力的なまでの単純化を行っています。
それがどれだけ自然界という大自由度複雑系の本質を捉えているのか、
それは今後の研究の進展を待つべきと言えますが、その成功例の一つとしては
柳田氏による沸騰のモデル化が知られています。 また、多くの大自由度カオス系で発見されるようになった
カオス的遍歴 が見出されることも重要です。

このページのシミュレータは N=200 個のロジスティック写像を結合したモデルの 振舞いを視覚化します。
CML と GCM を選択可能で、非線形パラメータ a と 結合強度 g を調整できます。
時刻 n における サイト i の出力 xn(i) が 2 ステップごとに表示されます。値が大きい程青い色で表示されています。

特徴的に見られる振舞いは以下のようなものがあります。

[CML]


[GCM]
a を固定し、g を小さい値から大きい値へと変化させると の転移が見られます。
中間領域ではカオス的遍歴 (chaotic itinerancy) も見られます (例えば a=1.95, g=0.2)。 これは複数のアトラクター間をカオス的に乗り換えてゆくようなダイナミクスです。
カオス的遍歴は複数のカオスアトラクターが共存する大自由度系ではしばしば見られます。
脳の記憶のモデルに現われるカオス連想記憶も、このカオス的遍歴の一つであると考えられます。

CMLとGCM どちらにも共通に言えるのは、高次元空間に多数のアトラクターが共存していることです。

このページは以下の文献を参考にしています。

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