マンデルブロー集合



mandelbrot.jarをダウンロードしてダブルクリックして実行してください (コマンドラインでは java -jar mandelbrot.jar)。

マウスのドラッグにより領域を指定すると、表示範囲が拡大されます。

シミュレータが実行出来ない方は www.java.com からJavaをインストールしてください。

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複素平面上の写像
z n+1 = zn2 + c
を考えましょう。

このとき初期点 z0=0 から出発した軌道は、複素パラメータ c に依存して固定点、 周期解、カオス解などに収束する場合と、
無限大に発散する場合が考えられます。

無限の時間が経過しても軌道が発散しないパラメータ c の集合は マンデルブロー集合と呼ばれます。
このシミュレータは複素平面上でマンデルブロー集合を図示します。
シミュレータ上で黒い領域がマンデルブロー集合です。解が発散する領域は、 発散までにかかる時間によって決まる色がつけられています。

マウスによって図を拡大すると、マンデルブロー集合は無限に 細かい構造を持っていることがわかります。
この図形に見られるように、「部分に全体が無限に含まれている」ような 自己相似構造を持った図形をマンデルブローは「フラクタル」と名付けました。

後の研究により、マンデルブロー集合の境界の次元は 2 であることや 境界は連結していることなどが宍倉光広教授により数学的に証明されました。
一般に、フラクタル図形は非整数次元を持つことが多いですから、 マンデルブロー集合はフラクタルの典型例ではないことになります。
しかし、マンデルブロー集合がフラクタルやカオスの研究に与えたインパクトは大きく、
記念碑的な図形として今でもしばしば紹介されます。

なお、このシミュレータでは、「発散」の基準となる時間 (TMAX) をバーで変更する ことができます。
マンデルブロー集合の境界を調べるには大きな TMAX を用いなければなりませんが、
それだけ計算時間がかかるので注意してください。

このページは以下の書籍を参考にしています。
合原一幸、黒崎政男「哲学者クロサキと工学者アイハラの神はカオスに宿りたもう」
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