強制振り子




forced.jarをダウンロードしてダブルクリックして実行してください (コマンドラインでは java -jar forced.jar)。

シミュレータが実行出来ない方は adoptium.net からOpenJDKをインストールしてください。

一定時間間隔に、振り子の運動状態を表す点が右のフィールドに打たれます。 １０分くらい見ていると、なにやら規則的な形が見えてきます。


ここでは強制振り子と呼ばれる振り子を扱います。これは次の微分方程式で表されます。

d2θ/dt2 = - γdθ/dt - sin θ + a cos(ωt)

ただし γ = 0.22 , ω =1.0 , a = 2.7

これを 4 次のルンゲクッタ法で数値的に解くと, カオス的な解が現れます。 ここにあるシミュレータは、θを鉛直方向からのずれの角度とみなし、解を振り子の運動として可視化したものです。
初期値を変えた独立な２つの振り子を同時に描いています。カオスのもつ初期値鋭敏性のために２つの振り子の挙動が全く異なったものになって行きます。
つまり、未来を正確に予測するためには無限の精度での状態観測が必要になるということですが、
それは量子力学により不可能であることが知られています。

またこのとき, (θ, dθ/dt , t) という 3 次元の相空間での挙動をみると 「強制振り子のアトラクター」アニメーションのようにフラクタル性をもったアトラクターが現れます。
シミュレータの右のフィールドには (θ(nT), dθ(nT)/dt) (n=0,1,2,…) のように時間間隔 T=2π/ω でサンプリングしたデータをプロットしています。
時間がたつにつれてアトラクターが見えてきます。

なお、黄色と赤の振り子の状態はどんどん離れて行きますが、実はどちらも同じカオスアトラクター上に乗っていることがわかります。
このように、混沌と秩序が共存するのがカオスの特徴です。
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