[問題] 浮動小数点表現

以上において、整数に対する四則演算のアルゴリズムを説明してきた。 しかし、コンピュータで扱う数値の形式は整数だけではなく、 小数もあり得る。

それらは浮動小数点形式の数値として実現されている。 浮動小数点形式の数値とは、10 進数では $-2.5 \times 10^{5}$ のような数である。$-$ は符号、2.5 の部分は仮数、5 の部分は 指数と呼ばれる。

実際にはコンピュータ上では数値は 2 進数で表現されるので、 浮動小数点形式の数値は以下の形をしている。

$$(+ \mbox{or} -) 1.xxxxx \times 2^{yyy}$$ (1)

なお、仮数は小数点の左のビットがただ一つの 1 となるように配置する。 このように、小数点の左に 0 が来ないようにした数を、正規化されている、 と言う。 (ただし、数値 ``0" は小数点の左に 1 がくることがないので特別扱いをする)

MIPS ではこの 32 ビットのレジスタを図 14 のように 配分している。 (なお、この形式は MIPS 専用のものではなく、IEEE 754 浮動小数点規格により 定められている)

図 14: IEEE 754 における浮動小数形式 (単精度) の数値の表現。

この形式は単精度の浮動小数点形式と呼ばれる (C 言語での float)。 仮数は (1) 式の ``$xxxxx$" の部分のみを 2 進表現して 23 ビットに収める。

指数部は一般に正負の値をとりうる (10 進数なら $10^{3}$ と $10^{-3}$ とがあるように)。 指数は 2 の補数表現ではなく、図 15 のようなゲタばき表現が なされ、$-127 \sim 128$ の数値を表現している。

図 15: ゲタばき表現による指数部の表現

すなわち、実際の指数に 127 のゲタ (bias) を履かせ、 その数値を 2 進表現するのである。

以上から、浮動小数表現された 32 ビットの数値が与えられた時、 その意味する数は以下のように計算できる。

$$(-1)^{S} \times (1 + 仮数) \times 2^{(指数 - ゲタ)}$$ (2)

ただし、$S$ は符号ビットである。

[問題]

1. 10 進数の数値 $-0.75$ の IEEE 754 での 2 進表現 (単精度) で表せ。